Σύντομη ιστορία της Ευρώπης

[19] Η ΕΥΡΩΠΗ ΤΗΣ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΜΕΣΑΊΩΝΑ Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΑΞΗ Οι παράλληλες ευθείες δεν τέμνονται. Μπορούμε να προσδιορίσουμε αυτό το γνώρισμα λέγοντας ότι όταν τέμνονται από μια τρίτη ευθεία οι εντός και εναλλάξ γωνίες που σχηματίζονται είναι ίσες. Αν δεν ήταν ίσες, οι δύο ευθείες θα συνα- ντιούνταν ή θα απέκλιναν – δεν θα ήταν παράλληλες. Για να ονομάσουμε τις γωνίες χρησιμοποιούμε γράμματα από το ελληνικό αλφάβητο – και στο διά- γραμμα αριστερά το «α» συμβολίζει δύο γωνίες που είναι ίσες. Η χρήση γραμ- μάτων από το ελληνικό αλφάβητο στη γεωμετρία μάς υπενθυμίζει την προέλευ- σή της. Εδώ χρησιμοποιούμε τα τρία πρώτα γράμματα: το άλφα, το βήτα και το γάμα. Με όσα ειπώθηκαν παραπάνω μπορούμε να υπολογίσουμε το άθροισμα των γωνιών μέσα σε ένα τρίγωνο. Τοποθετούμε το τρίγωνο ΑΒΓ στα δεξιά ανάμεσα σε δύο παράλληλες ευθείες: το να γνωρίζεις πώς να χρησιμοποιείς το γνωστό για να επιλύσεις το άγνωστο είναι το τέχνασμα της γεωμετρίας. Η γωνία α στο σημείο Α έχει μια γωνία ίση προς αυτή στο σημείο Β , βάσει της αρχής ότι αποτελούν γωνίες εναλλάξ της τέμνουσας εντός δύο παραλλήλων. Ομοίως, η γωνία γ στο Γ έχει μια γωνία ίση προς αυτή στο σημείο Β . Η επάνω παράλληλη ευθεία στο Β αποτελείται τώρα από τρεις γωνίες: α+β+γ . Μαζί σχηματίζουν μια ευθεία, και γνωρίζουμε ότι οι ευθείες σχηματίζουν γωνία 180 ο . Άρα α+β+γ=180 ο . Και έχουμε αποδείξει, χρησιμοποιώντας παράλληλες ευθείες, ότι το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου ισούται επί- σης με α+β+γ . Άρα το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου ισού- ται με 180 ο . Χρησιμοποιήσαμε λοιπόν παράλληλες ευθείες για να αποδείξουμε κάτι που σχετίζεται με τρίγωνα. α α γ β α α + β + γ = 180 0 A C α γ B