Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου

ΚΕΦΆΛΑΙΟ ΑΛΓΕΒΡΙΚΈΣ ΠΑΡΑΣΤΆΣΕΙΣ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ || | 17 | Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού Για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό πραγματικών αριθμών ισχύουν οι ιδιότητες του επόμενου πίνακα: Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ Ουδέτερο στοιχείο α + 0 = 0 α + (–α) = 0 α · 1 = α α · 1 α = 1 Επιμεριστική α(β + γ) = αβ + αγ Παρατηρήσεις 1. • Δύο αριθμοί α και β ονομάζονται αντίθετοι όταν έχουν άθροισμα 0: α + β = 0 • Ο αντίθετος του α είναι ο αριθμός –α. • Το μηδέν έχει αντίθετο τον εαυτό του. 2. • Δύο μη μηδενικοί αριθμοί α και β ονομάζονται αντίστροφοι όταν έχουν γινόμενο 1: αβ = 1 • Αντίστροφος του α, με α ≠ 0, είναι o αριθμός 1 α . • To μηδέν δεν έχει αντίστροφο. Επειδή το γινόμενο κάθε αριθμού με το μη- δέν είναι μηδέν, δεν υπάρχει αριθμός του οποίου το γινόμενο με το μηδέν να ισούται με 1. • Οι αριθμοί 1 και –1 είναι οι μοναδικοί αριθμοί οι οποίοι είναι ίσοι με τον αντίστροφό τους. 3. • Γινόμενο αριθμών ίσο με το μηδέν: Είναι γνωστό ότι το γινόμενο δύο ή περισσότερων αριθμών είναι ίσο με το μηδέν αν και μόνον αν ένας, τουλά- χιστον, εξ αυτών είναι μηδέν: Είναι αβ = 0 αν και μόνον αν α = 0 ή β = 0. 4. • Γινόμενο αριθμών διάφορο του μηδενός: Από την προηγούμενη παρατήρηση συμπεραίνουμε ότι το γινόμενο δύο ή περισσότερων αριθμών είναι διάφορο του μηδενός αν και μόνον αν όλοι οι αριθμοί αυτοί είναι διάφοροι του μηδενός: Είναι αβ ≠ 0 αν και μόνον αν α ≠ 0 και β ≠ 0.